Matemáticas

*NÚMEROS PERIÓDICOS

Un número decimal periódico es un número racional con parte fraccionaria caracterizado por tener un período (cifras que se repiten infinitamente) en su expansión decimal. Este período puede constar

Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 0,777\dots =0,{\overset {\frown }{7}}}$
• Número periódico mixto (también llamado periódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 1.91222\dots =1.91{\overset {\frown }{2}}}$, en donde 91 es el ante período.

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,3333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,07407407407407...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

${\displaystyle 11,36\ 36\dots ={\frac {1136-11}{99}}={\frac {1125}{99}}}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

Tipo de número periódico resultante 

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}$

como:

${\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}$

será exacta; en efecto

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}}$

como:

${\displaystyle 25=5\cdot 5}$